Als jüngstes von sechs Kindern wächst Kasper König im Münsterland auf. 1962 absolviert er ein Volontariat in der Galerie Rudolf Zwirner in Köln.1963 geht er nach London. Dort arbeitet er in den Galerien Annely Juda und Robert Fraser und besucht nebenbei kunsthistorische Vorlesungen am Courtauld Institute of Art. Auf Vermittlung von Arnold Bode arbeitet König 1964 als Aufbauhelfer bei der „documenta 3“. 1965 reist er als Kurier im Auftrag der Robert Fraser Gallery nach New York, wo er mit Unterbrechungen bis 1978 lebt. Von dort aus arbeitet er für europäische Museen an Ausstellungs- und Publikationsprojekten, handelt mit Kunst und baut ein Netzwerk auf, zu dem unter anderen die Künstler Carl Andre, Richard Artschwager, Hanne Darboven, Dan Graham, On Kawara, Sol LeWitt, Gordon Matta-Clark, Bruce Nauman, Claes Oldenburg und Andy Warhol gehören. An der New Yorker New School besucht er Vorlesungen im Fach Anthropologie. 1966 kuratiert König im Moderna Museet in Stockholm seine erste Ausstellung: „Claes Oldenburg“. Mit seinem Bruder Walther gründet er 1968 den Verlag Gebrüder König in Köln. Von 1973 bis 1975 lehrt König als Associate Professor am Nova Scotia College of Art and Design in Halifax, Kanada, und richtet dort 1973 den Verlag Press of the Nova Scotia College of Art and Design ein, wo er die Kunstbuchreihe „Source Materials of the Contemporary Arts“ herausgibt. 1977 initiiert er auf Einladung von Klaus Bußmann mit ihm zusammen die Skulptur-Projekte in Münster, die im Anschluss regelmäßig in einem Turnus von zehn Jahren stattfinden. 1978 kehrt König mit seiner Familie nach Deutschland zurück und wird 1984 auf den neu gegründeten Lehrstuhl Kunst und Öffentlichkeit an die Kunstakademie Düsseldorf berufen. Von 1988 bis 2000 lehrt König als Professor an der Städelschule in Frankfurt am Main, die er ab 1989 als Rektor leitet. Bereits 1987 gründet er die Ausstellungshalle Portikus, die der Kunsthochschule angeschlossen ist. König kuratiert zahlreiche Themenausstellungen, darunter „Aspects of Recent Art from Europe“ (Sperone Westwater Fischer Galerie, New York, 1976), „Westkunst. Zeitgenössische Kunst seit 1939“ (gemeinsam mit Laszlo Glozer, Rheinhallen, Köln, 1981), „von hier aus. Zwei Monate neue deutsche Kunst in Düsseldorf“ (Halle 13 der Messe Düsseldorf, 1984), „Der zerbrochene Spiegel“ (gemeinsam mit Hans Ulrich Obrist, Kunsthalle Wien/Deichtorhallen Hamburg, 1993) und „Sultan’s Pool“ auf der Jerusalem Biennale (1997). 2000 verantwortet König das Kunstprogramm der Weltausstellung EXPO in Hannover und kuratiert 2003 den Österreichischen Pavillon der „50. Biennale von Venedig“. Weiterhin organisiert er zahlreiche monografische Ausstellungen, darunter zum Werk von Andy Warhol (1968), A.R. Penck (1973), On Kawara (1974), Donald Judd (1976), Michael Asher (1976), Gerhard Richter (1993) und Gregor Schneider (1997). Zwischen 2000 und 2012 leitet König das Museum Ludwig in Köln, das 2001 mit der Präsentation „Museum unserer Wünsche“ wiedereröffnet wird. Unter seiner Leitung finden dort weiterhin Einzelschauen unter anderen von Isa Genzken und Wolfgang Tillmans (2001/02), Franz West (2009/10) und A.R. Penck (2010/11) sowie thematische Ausstellungen wie „Das achte Feld. Geschlechter, Leben und Begehren in der Kunst seit 1960“ (mit Frank Wagner und Julia Friedrich, 2006) und die Skulpturenausstellung „Vor dem Gesetz“ (2011/12) statt. 2014 ist König Kurator der „Manifesta 10“ in St. Petersburg und übernimmt 2017 abermals die künstlerische Leitung der Skulptur-Projekte Münster. Er ist Herausgeber zahlreicher Publikationen zur Kunst der Moderne und der Gegenwart, darunter „Der Schatten der Avantgarde“ (Ostfildern 2015), „Manifesta 10“ (Köln 2014), „Isa Genzken. Sesam, öffne dich!“ (Köln 2009), „Bruno Gironcoli/Biennale di Venezia 2003“ (Köln 2003), „On Kawara. Wieder und Wider“ (Frankfurt am Main 1992), „Franz West, schöne Aussicht“ (Frankfurt am Main 1988) und „Franz Erhard Walther. Objekte, benutzen“ (Köln/New York 1968). König wird unter anderem mit dem Award for Curatorial Excellence des Center for Curatorial Studies/Bard College (2000), dem Lifetime Achievement Award der Guggenheim Foundation New York (2009) und der Ehrendoktorwürde des Nova Scotia College of Art and Design, Halifax, ausgezeichnet.